Задание 20 ЕГЭ по профильной математике 2027

Какие бывают подтипы

• Признаки делимости — Делимость на 3 и на 9 — по сумме цифр, на 4 — по двум последним цифрам, на 5 — по последней.
• Кратные и остатки — Сколько чисел до $N$ делится на $k$, какой остаток даёт сумма или произведение.
• Чётность — Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна — такое рассуждение закрывает многие вопросы «может ли…».
• Суммы и наборы чисел — Наименьшая сумма $n$ различных натуральных чисел — $1+2+\dots +n$; как меняется сумма набора, если убрать или заменить число.
• Оценка и пример — Пункт в): доказать, что больше (или меньше) нельзя, и показать набор, на котором граница достигается. Ответ обоснован, только когда есть обе части.
• Решение целиком — Перебор с опорой на признаки делимости или оценка с примером в одной задаче.

Пример с полным разбором

Условие. На доске написано несколько различных натуральных чисел, их сумма равна 60. а) Может ли на доске быть 10 чисел? б) Может ли на доске быть 11 чисел? в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если ни одно из них не делится на 5?

1. а) Пример: числа от 1 до 9 и число 15 — десять различных чисел с суммой $45+15=60$. Значит, может.
2. б) Сумма 11 различных натуральных чисел не меньше суммы одиннадцати самых маленьких: $1+2+\dots +11=66>60$. Значит, не может.
3. в) Оценка. Натуральные числа, не делящиеся на 5, по возрастанию: $1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,\dots$ Десять различных таких чисел в сумме дают не меньше $1+2+3+4+6+7+8+9+11+12=63>60$, поэтому чисел не больше девяти.
4. Пример на девять чисел: $1,2,3,4,6,7,8,11,18$ — ни одно не делится на 5, все различны, сумма равна 60.
5. Оценка показывает, что больше девяти нельзя, а пример — что девять возможно. Наибольшее количество — 9.

Ответ: а) да; б) нет; в) 9

Частые ошибки

• В пункте в) приводят только пример без доказательства, что больше нельзя, или только оценку без примера.
• Считают доказательством фразу «перебрал и не нашёл»: неполный перебор ничего не доказывает.
• Описывают пример словами, не называя конкретных чисел.
• Забывают требование различности: в примере одно число встречается дважды.
• Путают в условии «хотя бы один» и «каждый».

Что нужно знать для задания 20

Оглавление курса «ЕГЭ по математике. Профиль» под это задание. Содержание открывается после оплаты.

1. Делимость: язык задачи
2. Признаки делимости
3. Чёт и нечет: маленькая алгебра
4. Оценка плюс пример
5. Как строить примеры
6. Как оформить решение на бланке
7. Разбор: задача уровня экзамена

Открыть темы в курсе

Ответы на частые вопросы

Как оценивают задание 20?

По критериям демоверсии 2027 года: 4 балла — обоснованно получены верные ответы во всех трёх пунктах; 3 — в пункте в) и ещё в одном из пунктов а) или б); 2 — в пунктах а) и б) или только в пункте в); 1 — в пункте а) или б); иначе 0.

Можно ли получить баллы, решив только пункт а)?

Да: обоснованный верный ответ в пункте а) или б) даёт 1 балл. Если ответ на вопрос «может ли…» — «да», достаточно привести конкретный пример и проверить, что он выполняет все условия.

Под каким номером это задание было в 2026 году?

Под номером 19 — последним в работе. В 2027 году задача о числах и их свойствах стала двадцатой.

• ← Задание 19
• Все задания ЕГЭ по профильной математике

• Пробный вариант — онлайн, с таймером
• Перевод баллов — калькулятор тестового балла
• Критерии — оценивание развёрнутых ответов
• Формулы — справочные материалы