Справочные материалы и формулы для ЕГЭ по профильной математике 2027

На профильном экзамене выдают только четыре тригонометрические формулы — они в начале страницы. Ниже собраны формулы школьного курса, которых в справочных материалах нет, а в заданиях они нужны. У каждой формулы — номера заданий, где она пригодится.

Выдают на экзамене

Справочные материалы профильного экзамена — четыре формулы тригонометрии в конце инструкции к работе. Всё остальное, от производных до объёмов тел, нужно помнить самому.

Тригонометрия

$sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α$
Синус двойного угла
Свернуть $2 sin α cos α$ в один синус или, наоборот, разложить $sin 2 x$ в уравнении на множители.
Встречается в: Задание 8, Задание 14.
$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α$
Косинус двойного угла
Вместе с основным тригонометрическим тождеством даёт ещё две записи: $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α$ . Так уравнение сводят к одной функции.
Встречается в: Задание 8, Задание 14.
$sin (α + β) = sin α \cdot cos β + cos α \cdot sin β$
Синус суммы
Для разности меняется знак между слагаемыми: $sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$ .
Встречается в: Задание 8, Задание 14.
$cos (α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β$
Косинус суммы
Для разности в правой части вместо «−» ставят «+». Нужна, когда в уравнении стоит, например, $cos (x + \frac{π}{4})$ .
Встречается в: Задание 8, Задание 14.

Нужно помнить самому

Этого в справочных материалах нет, а в заданиях нужно. Факты из школьных учебников можно использовать без доказательства — достаточно знать формулу и понимать, когда она работает.

Тригонометрия

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$
Основное тригонометрическое тождество
Найти косинус, когда известен синус, и наоборот; знак берут по четверти, в которой лежит угол. В уравнении заменяет $cos^{2} x$ на $1 - sin^{2} x$ , чтобы осталась одна функция.
Встречается в: Задание 8, Задание 14.
$tg α = \frac{sin α}{cos α}, ctg α = \frac{cos α}{sin α}$
Тангенс и котангенс
Тангенс определён, когда $cos α \neq = 0$ , котангенс — когда $sin α \neq = 0$ . Их произведение равно 1.
Встречается в: Задание 8, Задание 14.
$sin (- α) = - sin α, cos (- α) = cos α sin (π - α) = sin α, cos (π - α) = - cos α sin (\frac{π}{2} - α) = cos α, cos (\frac{π}{2} - α) = sin α$
Формулы приведения
Сводят угол к острому: $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ}$ , $cos 6 4^{\circ} = sin 2 6^{\circ}$ . Любую другую формулу приведения можно получить из формул суммы, которые выдают: $cos (π + α) = cos π cos α - sin π sin α = - cos α$ .
Встречается в: Задание 8, Задание 14.
$sin x = a : x = arcsin a + 2 π k, x = π - arcsin a + 2 π k cos x = a : x = \pm arccos a + 2 π k tg x = a : x = arctg a + π k$
Простейшие тригонометрические уравнения
$k$ — любое целое число. $arcsin a$ — угол от $- \frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2}$ , синус которого равен $a$ ; $arccos a$ — угол от $0$ до $π$ с косинусом $a$ . При $∣ a ∣ > 1$ у уравнений с синусом и косинусом корней нет.
Встречается в: Задание 7, Задание 14.

Значения синуса, косинуса и тангенса

радианы	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
градусы	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$	$27 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$	$- 1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	—	$0$	—

На профильном экзамене этой таблицы нет — в отличие от базового. Прочерк — тангенс не определён. Значения для других углов получают по формулам приведения.

Встречается в: Задание 7, Задание 8, Задание 14.

Степени и логарифмы

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} \frac{a ^{n}}{a ^{m}} = a^{n - m} (a^{n})^{m} = a^{nm} (ab)^{n} = a^{n} b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
Свойства степени
При $a > 0$ , $b > 0$ . Нужны, чтобы привести обе части показательного уравнения или неравенства к одному основанию.
Встречается в: Задание 7, Задание 8, Задание 16.
$n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}, n ab = n a \cdot n b$
Корень $n$ -й степени
При $a \geq 0$ , $b \geq 0$ . Корень удобно записать степенью с дробным показателем и дальше пользоваться свойствами степени.
Встречается в: Задание 7, Задание 8.
$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$
Определение логарифма
При $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ . Отсюда $a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} 1 = 0$ . Уравнение $lo g_{a} x = c$ решают по определению: $x = a^{c}$ .
Встречается в: Задание 7, Задание 8, Задание 16.
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$
Свойства логарифма
При $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $x > 0$ , $y > 0$ . Условия важны: например, $lo g_{2} x^{2} = 2 lo g_{2} ∣ x ∣$ , а не $2 lo g_{2} x$ .
Встречается в: Задание 7, Задание 8, Задание 16.
$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}, lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b$
Переход к другому основанию
Когда в выражении логарифмы по разным основаниям: $lo g_{4} x = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ .
Встречается в: Задание 8, Задание 16.
$a^{f (x)} > a^{g (x)} ⟺ f (x) > g (x), a > 1$
Показательное неравенство
При основании больше 1 знак неравенства сохраняется, при основании от 0 до 1 — меняется на противоположный.
Встречается в: Задание 16.
$lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x) ⟺ {f (x) > g (x) g (x) > 0, a > 1$
Логарифмическое неравенство
При $0 < a < 1$ знак между $f (x)$ и $g (x)$ меняется на противоположный, а условие положительности ставят на $f (x)$ . Без этого условия в ответ попадают точки, где логарифм не определён.
Встречается в: Задание 16.

Алгебра

$x = \frac{- b \pm D}{2 a}, D = b^{2} - 4 a c$
Корни квадратного уравнения
Уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ при $a \neq = 0$ . При $D < 0$ корней нет, при $D = 0$ корень один. В задаче с параметром касание прямой и параболы — это $D = 0$ .
Встречается в: Задание 7, Задание 10, Задание 14, Задание 16, Задание 19.
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
Теорема Виета
Подобрать корни квадратного уравнения без дискриминанта или проверить найденные. В задаче с параметром — узнать знаки корней, не вычисляя их.
Встречается в: Задание 7, Задание 19.
$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Разложение квадратного трёхчлена
$x_{1}$ и $x_{2}$ — корни трёхчлена. Нужно для метода интервалов: неравенство раскладывают на множители, отмечают их нули на прямой и определяют знак на каждом промежутке.
Встречается в: Задание 16.
$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$
Формулы сокращённого умножения
Разложить на множители и сократить дробь, выделить полный квадрат — например, чтобы найти вершину параболы.
Встречается в: Задание 8, Задание 16, Задание 19.
$∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0$
Модуль числа
Выражение с модулем разбирают по двум случаям — по знаку того, что стоит под модулем. Отсюда же $a^{2} = ∣ a ∣$ .
Встречается в: Задание 8, Задание 19.

Функции и графики

$y = k x + b$
Линейная функция
$k$ — угловой коэффициент: на сколько меняется $y$ , когда $x$ растёт на 1; $b$ — ордината точки пересечения с осью $O y$ . У параллельных прямых $k$ одинаковый.
Встречается в: Задание 9, Задание 12, Задание 19.
$y = a x^{2} + b x + c, x_{0} = - \frac{b}{2 a}$
Парабола
При $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз; $x_{0}$ — абсцисса вершины, $c$ — ордината точки пересечения с осью $O y$ .
Встречается в: Задание 12, Задание 19.
$y = \frac{k}{x - a} + b$
Гипербола
График $y = \frac{k}{x}$ , сдвинутый на $a$ вправо и на $b$ вверх. Прямые $x = a$ и $y = b$ — асимптоты: линии, к которым ветви неограниченно приближаются.
Встречается в: Задание 12.
$y = a^{x}, y = lo g_{a} x$
Показательная и логарифмическая функции
График $y = a^{x}$ проходит через точку $(0; 1)$ , график $y = lo g_{a} x$ — через $(1; 0)$ . При $a > 1$ обе функции возрастают, при $0 < a < 1$ — убывают.
Встречается в: Задание 12, Задание 16.

Производная

$(C)^{'} = 0, (x^{n})^{'} = n x^{n - 1}, (x)^{'} = \frac{1}{2 x} (sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x, (tg x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} (e^{x})^{'} = e^{x}, (a^{x})^{'} = a^{x} ln a, (ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
Производные элементарных функций
$C$ — постоянное число, $e \approx 2, 718$ — основание натурального логарифма $ln x$ .
Встречается в: Задание 9, Задание 17.
$(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}, (C u)^{'} = C u^{'} (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
Производная суммы, произведения и частного
$u$ и $v$ — функции от $x$ , $C$ — число. В производной частного порядок в числителе важен: сначала производная числителя.
Встречается в: Задание 9, Задание 17.
$(f (k x + b))^{'} = k f^{'} (k x + b)$
Производная от $f (k x + b)$
Например, $(sin 3 x)^{'} = 3 cos 3 x$ , $((2 x - 1)^{5})^{'} = 10 (2 x - 1)^{4}$ .
Встречается в: Задание 9, Задание 17.
$f^{'} (x_{0}) = k = tg α$
Геометрический смысл производной
Значение производной в точке $x_{0}$ — угловой коэффициент касательной к графику в этой точке; $α$ — угол между касательной и положительным направлением оси $O x$ .
Встречается в: Задание 9.
$y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
Уравнение касательной
Касательная к графику $y = f (x)$ в точке с абсциссой $x_{0}$ .
Встречается в: Задание 9.
$v (t) = x^{'} (t)$
Скорость как производная
$x (t)$ — координата движущейся точки в момент времени $t$ , $v (t)$ — её скорость в этот момент.
Встречается в: Задание 9.
$f^{'} (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{'} (x_{0}) = 0$
Производная и поведение функции
Где производная положительна, функция возрастает, где отрицательна — убывает. В точке максимума производная меняет знак с «+» на «−», в точке минимума — с «−» на «+». Наибольшее значение на отрезке ищут среди значений в таких точках и на концах отрезка.
Встречается в: Задание 9, Задание 17.
$F^{'} (x) = f (x) S = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
Первообразная и площадь
$F$ — первообразная функции $f$ : функция, производная которой равна $f$ . Если $f (x) \geq 0$ на отрезке $[a; b]$ , то $S$ — площадь фигуры между графиком и осью $O x$ над этим отрезком.
Встречается в: Задание 9.

Вероятность

$P (A) = \frac{m}{n}$
Вероятность события
$n$ — число всех равновозможных исходов, $m$ — число исходов, при которых событие $A$ наступает.
Встречается в: Задание 4, Задание 5.
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
Противоположное событие
$\overline{A}$ — событие « $A$ не наступило». Удобно для «хотя бы один»: единица минус вероятность того, что не случилось ни одного.
Встречается в: Задание 4, Задание 5.
$P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$
Сложение вероятностей
Вероятность того, что наступит $A$ или $B$ . Если события несовместны — не могут наступить вместе, — то $P (A B) = 0$ и вероятности просто складываются.
Встречается в: Задание 5.
$P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$
Умножение вероятностей
$P (B ∣ A)$ — вероятность $B$ при условии, что $A$ уже наступило. Для независимых событий $P (B ∣ A) = P (B)$ , и тогда $P (A B) = P (A) \cdot P (B)$ .
Встречается в: Задание 5.
$P (B) = P (A_{1}) \cdot P (B ∣ A_{1}) + P (A_{2}) \cdot P (B ∣ A_{2})$
Формула полной вероятности
$A_{1}$ и $A_{2}$ — два случая, один из которых обязательно происходит: деталь исправна или неисправна. Случаев может быть больше — слагаемых столько же.
Встречается в: Задание 5.
$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
Число сочетаний
Сколькими способами можно выбрать $k$ предметов из $n$ , если порядок не важен; $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ .
Встречается в: Задание 5.

Случайная величина

$E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$
Математическое ожидание
$x_{1}, \dots, x_{n}$ — значения величины, $p_{1}, \dots, p_{n}$ — их вероятности, в сумме они дают 1. Ожидание — среднее значение величины, если опыт повторять много раз.
Встречается в: Задание 6.
$D (X) = (x_{1} - E)^{2} p_{1} + \dots + (x_{n} - E)^{2} p_{n} D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$
Дисперсия
$E$ — математическое ожидание. Дисперсия показывает, насколько значения разбросаны вокруг среднего; вторая строка даёт тот же результат короче.
Встречается в: Задание 6.
$σ (X) = D (X)$
Стандартное отклонение
Разброс в тех же единицах, что и сама величина: в рублях, граммах, минутах.
Встречается в: Задание 6.
$E (a X + b) = a E (X) + b, D (a X + b) = a^{2} D (X) E (X + Y) = E (X) + E (Y)$
Свойства ожидания и дисперсии
Когда величину умножили на число или сдвинули: цены выросли вдвое, к каждому выигрышу добавили 10 рублей. Сдвиг на $b$ дисперсию не меняет.
Встречается в: Задание 6.
$P (c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$
Равномерное распределение
Величина $X$ одинаково может оказаться в любой точке отрезка $[a; b]$ ; $[c; d]$ — часть этого отрезка. Среднее значение $E (X) = \frac{a + b}{2}$ .
Встречается в: Задание 6.
$P (X > t) = e^{- t / T}$
Показательное распределение
Время ожидания события, например срок работы прибора до поломки. $T$ — среднее время ожидания, то есть $E (X) = T$ .
Встречается в: Задание 6.
$μ \pm σ : 68 %, μ \pm 2 σ : 95 %, μ \pm 3 σ : 99, 7 %$
Правило трёх сигм
Для нормального распределения — симметричного «колокола» вокруг среднего $μ$ со стандартным отклонением $σ$ : какая доля значений примерно попадает в промежуток от $μ - σ$ до $μ + σ$ , вдвое и втрое шире.
Встречается в: Задание 6.

Планиметрия

$S = \frac{1}{2} a h_{a}, S = \frac{1}{2} ab sin γ$
Площадь треугольника
$h_{a}$ — высота к стороне $a$ ; $γ$ — угол между сторонами $a$ и $b$ .
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$S = a h_{a}, S = ab sin γ$
Площадь параллелограмма
$h_{a}$ — высота к стороне $a$ ; $γ$ — угол между сторонами $a$ и $b$ .
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$
Площадь трапеции
$a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Площадь ромба
$d_{1}$ и $d_{2}$ — диагонали ромба.
Встречается в: Задание 1.
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Теорема Пифагора
$a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Встречается в: Задание 1, Задание 3, Задание 15, Задание 18.
$sin α = \frac{a}{c}, cos α = \frac{b}{c}, tg α = \frac{a}{b}$
Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике
$c$ — гипотенуза, $a$ — катет против угла $α$ , $b$ — катет, прилежащий к нему.
Встречается в: Задание 1, Задание 15, Задание 18.
$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$
Теорема синусов
Сторона и противолежащий ей угол дают радиус $R$ описанной окружности.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
Теорема косинусов
Третья сторона треугольника по двум сторонам и углу $C$ между ними — или угол по трём сторонам.
Встречается в: Задание 1, Задание 15, Задание 18.
$18 0^{\circ} \cdot (n - 2)$
Сумма углов выпуклого многоугольника
$n$ — число углов. У треугольника сумма $18 0^{\circ}$ , у четырёхугольника — $36 0^{\circ}$ .
Встречается в: Задание 1.
$\frac{A L}{L C} = \frac{A B}{B C}$
Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса $B L$ треугольника $A B C$ делит сторону $A C$ на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$M N ∥ A C, M N = \frac{A C}{2} M N ∥ A D, M N = \frac{B C + A D}{2}$
Средняя линия треугольника и трапеции
Первая строка — треугольник $A B C$ , $M$ и $N$ — середины сторон $A B$ и $B C$ . Вторая — трапеция с основаниями $B C$ и $A D$ , $M$ и $N$ — середины боковых сторон.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$
Площади подобных фигур
$k$ — коэффициент подобия, то есть отношение соответствующих сторон.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$C = 2 π r, S = π r^{2}$
Длина окружности и площадь круга
Окружность и круг радиуса $r$ .
Встречается в: Задание 1, Задание 3.
$∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A O B$
Вписанный угол
Вписанный угол равен половине центрального, который опирается на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$O A ⊥ M A, M A = M B$
Касательная к окружности
$O$ — центр, $A$ и $B$ — точки касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки $M$ равны.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$A E \cdot E B = C E \cdot E D, M A^{2} = M B \cdot M C$
Хорды, касательная и секущая
Первое — хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $E$ . Второе — из точки $M$ проведены касательная $M A$ и секущая, которая пересекает окружность в точках $B$ и $C$ .
Встречается в: Задание 18.
$∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}, A B + C D = B C + A D$
Вписанный и описанный четырёхугольники
Около четырёхугольника $A B C D$ можно описать окружность только тогда, когда суммы противоположных углов равны $18 0^{\circ}$ . Вписать в него окружность можно только тогда, когда равны суммы противоположных сторон.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$r = \frac{S}{p}, R = \frac{ab c}{4 S}$
Радиусы вписанной и описанной окружностей
$S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр, то есть половина периметра, $a$ , $b$ , $c$ — стороны.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.
$R = \frac{c}{2}$
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
Центр окружности — середина гипотенузы $c$ . Поэтому медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
Встречается в: Задание 1, Задание 18.

Векторы и координаты

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}), ∣ a ∣ = x^{2} + y^{2}$
Координаты и длина вектора
Вектор с началом $A$ и концом $B$ ; $x$ и $y$ — координаты вектора $a$ . Длина $A B$ — это расстояние между точками $A$ и $B$ .
Встречается в: Задание 2.
$a + b = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}), k a = (k x_{1}; k y_{1})$
Сумма векторов и умножение на число
$a = (x_{1}; y_{1})$ , $b = (x_{2}; y_{2})$ . Разность — так же, только координаты вычитают.
Встречается в: Задание 2.
$a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
Скалярное произведение
$φ$ — угол между векторами. Отсюда косинус угла между ними; если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
Встречается в: Задание 2.
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$
Уравнение окружности
Окружность с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ . В задаче с параметром уравнение такого вида рисуют окружностью и считают её общие точки с другими линиями.
Встречается в: Задание 19.

Стереометрия

$V = S h$
Объём призмы и цилиндра
$S$ — площадь основания, $h$ — высота. У цилиндра радиуса $r$ : $V = π r^{2} h$ .
Встречается в: Задание 3, Задание 15.
$V = \frac{1}{3} S h$
Объём пирамиды и конуса
$S$ — площадь основания, $h$ — высота. У конуса радиуса $r$ : $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .
Встречается в: Задание 3, Задание 15.
$V = \frac{4}{3} π r^{3}, S = 4 π r^{2}$
Объём шара и площадь сферы
Шар радиуса $r$ ; $S$ — площадь его поверхности.
Встречается в: Задание 3.
$S_{1} = 2 π r h, S_{2} = π r l$
Боковая поверхность цилиндра и конуса
$S_{1}$ — цилиндр, $S_{2}$ — конус; $l$ — образующая конуса: отрезок от вершины до окружности основания. Полная поверхность — боковая плюс площади оснований.
Встречается в: Задание 3.
$V = ab c, d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Прямоугольный параллелепипед
$a$ , $b$ , $c$ — три ребра из одной вершины, $d$ — диагональ. Площадь поверхности — $2 (ab + b c + a c)$ .
Встречается в: Задание 3, Задание 15.
$\frac{V _{1}}{V _{2}} = k^{3}$
Объёмы подобных тел
Если все размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^{2}$ раз, объём — в $k^{3}$ раз.
Встречается в: Задание 3.

Проценты и текстовые задачи

$\frac{p}{100} \cdot a$
$p$ процентов от числа $a$
Скидка, наценка, доля в процентах.
Встречается в: Задание 11, Задание 13.
$a (1 + \frac{p}{100}), a (1 - \frac{p}{100})$
Число после роста и снижения на $p$ процентов
Рост на 10 % — умножение на $1, 1$ , снижение на 20 % — умножение на $0, 8$ .
Встречается в: Задание 11, Задание 13.
$S_{n} = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$
Сложные проценты
$S_{0}$ — начальная сумма, $p$ — процент за период, $n$ — число периодов. Так растёт вклад, когда проценты каждый раз начисляют на уже выросшую сумму.
Встречается в: Задание 13.
$a_{n} = a_{1} + d (n - 1), S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$
Арифметическая прогрессия
$a_{1}$ — первый член, $d$ — разность: число, которое прибавляется на каждом шаге; $S_{n}$ — сумма первых $n$ членов.
Встречается в: Задание 11, Задание 13, Задание 20.
$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}, S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$
Геометрическая прогрессия
$q$ — знаменатель: во сколько раз каждый член больше предыдущего; сумма — при $q \neq = 1$ .
Встречается в: Задание 13.
$s = v t$
Путь, скорость, время
При движении навстречу скорости складываются, вдогонку — вычитаются. По течению скорость лодки $v + u$ , против течения $v - u$ , где $u$ — скорость течения.
Встречается в: Задание 11.
$A = p t$
Работа, производительность, время
Задачи на совместную работу: производительности тех, кто работает вместе, складываются.
Встречается в: Задание 11.
$c = \frac{m _{1}}{m}$
Концентрация
$m_{1}$ — масса вещества, $m$ — масса всего раствора или сплава. При смешивании массы вещества складываются.
Встречается в: Задание 11.

Числа

$a = b q + r, 0 \leq r < b$
Деление с остатком
Целое $a$ при делении на натуральное $b$ даёт неполное частное $q$ и остаток $r$ . Нужно в рассуждениях о делимости и чётности.
Встречается в: Задание 20.

Ещё по профильной математике

Критерии оценивания — За что дают полный балл в заданиях с развёрнутым ответом, за что — частичный.
Задания по номерам — Каждый номер экзамена: тема, баллы, пример с разбором и тренировка.
Перевод баллов — Калькулятор оценки по первичным баллам и шкала перевода.

Справочные материалы и формулы для ЕГЭ по профильной математике 2027

Выдают на экзамене

Тригонометрия

Нужно помнить самому

Тригонометрия

Степени и логарифмы

Алгебра

Функции и графики

Производная

Вероятность

Случайная величина

Планиметрия

Векторы и координаты

Стереометрия

Проценты и текстовые задачи

Числа

Ещё по профильной математике

Формулы по другим предметам