Задание 14 ЕГЭ по профильной математике 2027

Какие бывают подтипы

• Простейшие уравнения — У уравнения $\sin x=a$ или $\cos x=a$ бесконечно много корней. Их записывают сериями — формулами вида $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
• Замена переменной — После основного тождества или формулы двойного угла уравнение становится квадратным относительно $t=\cos x$ или $t=\sin x$.
• Лишний корень замены — Корень вроде $\cos x=2$ отбрасывают с объяснением: косинус не бывает больше 1.
• Отбор корней — Пункт б): какие корни из бесконечной серии попадают на отрезок — перебором $n$, двойным неравенством или на тригонометрической окружности.
• Решение целиком — Оба пункта подряд: от преобразования уравнения до списка корней на отрезке.

Пример с полным разбором

Условие. а) Решите уравнение $2{\sin }^{2}x+3\cos x=0$. б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$.

1. а) По основному тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $2-2{\cos }^{2}x+3\cos x=0$, то есть $2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0$.
2. Замена $t=\cos x$: $2t^2-3t-2=0$, $D=9+16=25$, корни $t=2$ и $t=-\frac{1}{2}$.
3. Уравнение $\cos x=2$ решений не имеет, так как $|\cos x|\le 1$.
4. Из $\cos x=-\frac{1}{2}$ получаем две серии: $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n$ и $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n$, где $n$ — целое.
5. б) Первая серия: при $n=1$ получаем $\frac{8\pi }{3}$ — он на отрезке; при $n=0$ и $n=2$ корни $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{14\pi }{3}$ выходят за его границы.
6. Вторая серия: при $n=2$ получаем $\frac{10\pi }{3}$ — он на отрезке, так как $\frac{10\pi }{3}<\frac{7\pi }{2}$; соседние корни $\frac{4\pi }{3}$ и $\frac{16\pi }{3}$ лежат за его границами.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$, где $n$ — целое; б) $\frac{8\pi }{3}$, $\frac{10\pi }{3}$

Частые ошибки

• Делят обе части на $\sin x$ или $\cos x$, не проверив, что он не равен нулю, и теряют серию корней.
• Теряют вторую серию у синуса: корни $\sin x=a$ — это $\arcsin a+2\pi n$ и $\pi -\arcsin a+2\pi n$.
• Отбрасывают корень замены с $|t|>1$ молча, без фразы «так как $|\cos x|\le 1$».
• Не пишут, что $n$ — целое число: без этого серия корней не задана.
• У тангенса пишут период $2\pi$ вместо $\pi$.

Что нужно знать для задания 14

Оглавление курса «ЕГЭ по математике. Профиль» под это задание. Содержание открывается после оплаты.

1. С нуля: окружность, радианы и таблица
2. Почему корней бесконечно много
3. Уравнения с косинусом
4. Уравнения с синусом
5. Приём 1: сведение к квадратному уравнению
6. Приём 2: разложение на множители
7. Пункт б): отбор корней двойным неравенством
8. Пункт б): отбор корней на окружности
9. Как оформить решение на бланке

Открыть темы в курсе

Ответы на частые вопросы

Как оценивают задание 14?

По критериям демоверсии 2027 года: 2 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах; 1 балл — обоснованно решён пункт а) или в обоих пунктах неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но все шаги решения верные; иначе 0.

Дадут ли балл за верный ответ без решения?

Нет. В части 2 правильный ответ без текста решения оценивается в 0 баллов.

Каким способом отбирать корни в пункте б)?

Любым: эксперты оценивают полноту и обоснованность, а не метод. Подойдут перебор значений $n$, двойное неравенство или отбор на окружности, если из записи понятно, почему корень попадает или не попадает на отрезок.

Под каким номером это задание было в 2026 году?

Под номером 13, тогда оно открывало часть 2. В 2027 году часть 2 начинается с задания 14.

• ← Задание 13
• Задание 15 →
• Все задания ЕГЭ по профильной математике

• Пробный вариант — онлайн, с таймером
• Перевод баллов — калькулятор тестового балла
• Критерии — оценивание развёрнутых ответов
• Формулы — справочные материалы