Как оценивают задание 15?

По критериям демоверсии 2027 года: 3 балла — доказан пункт а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б); 2 балла — обоснованно решён пункт б), или доказан пункт а), а в обоснованном решении пункта б) арифметическая ошибка; 1 балл — доказан только пункт а), или в обоснованном решении пункта б) арифметическая ошибка, или пункт б) решён с опорой на недоказанный пункт а); иначе 0.

Можно ли решить пункт б), не доказав пункт а)?

Можно. Обоснованный верный ответ в пункте б) даёт 2 балла. Если в решении пункта б) использовано утверждение пункта а), а сам пункт а) не доказан, ставят 1 балл.

Нужен ли чертёж?

Эксперты проверяют математическое содержание решения, а не оформление. Но без чертежа или описания построения проследить рассуждение трудно, поэтому рисунок с обозначениями стоит сделать.

Задание 15 ЕГЭ по профильной математике 2027

Задача на многогранник или тело вращения из двух пунктов: а) доказать утверждение, б) найти угол, расстояние, площадь сечения или объём. Часть 2: полное решение записывают на бланке № 2, до 3 баллов.

Часть	2
Ответ	развёрнутое решение на бланке № 2
Баллы	до 3 баллов
Проверяет	умение строить сечения многогранников, доказывать утверждения о прямых и плоскостях в пространстве и находить расстояния, углы, площади и объёмы
Сколько времени закладывать	около 20 минут, если математику изучали на профильном уровне, и около 30 — если на базовом (оценка ФИПИ)
Нужные формулы	теорема Пифагора, теорема косинусов, объём пирамиды
Как оценивают	критерии задания 15

Какие бывают подтипы

Длины и объёмы — Диагональ параллелепипеда, высота пирамиды, объёмы призм и пирамид — вычислительная основа пункта б).
Наклонная и проекция — Из точки к плоскости проводят перпендикуляр и наклонную; проекция — отрезок на плоскости между их концами. Три отрезка образуют прямоугольный треугольник — на этом держится теорема о трёх перпендикулярах.
Углы в пространстве — Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией; угол между плоскостями — угол между перпендикулярами к их общей прямой, проведёнными в этих плоскостях из одной точки.
Сечения — Многоугольник, по которому плоскость разрезает многогранник: построить, обосновать его вид, найти площадь.
Координаты и векторы — Запасной способ: ввести систему координат и считать углы и расстояния через скалярное произведение.
Решение целиком — Построение, обоснование и вычисление в одной задаче — как в пункте б) на экзамене.

Пример с полным разбором

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром 4 точка $M$ — середина ребра $C C_{1}$ . а) Докажите, что прямая $B D$ перпендикулярна плоскости $A C M$ . б) Найдите тангенс угла между плоскостями $B D M$ и $A B C$ .

а) Диагонали квадрата $A B C D$ перпендикулярны: $B D ⊥ A C$ .
Ребро $C C_{1}$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому $C C_{1} ⊥ B D$ .
Прямая $B D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A C$ и $C M$ плоскости $A C M$ , значит, по признаку перпендикулярности она перпендикулярна всей плоскости.
б) Пусть $O$ — центр квадрата $A B C D$ . Прямая $M O$ лежит в плоскости $A C M$ , поэтому по пункту а) $M O ⊥ B D$ ; кроме того, $C O ⊥ B D$ .
Угол между плоскостями измеряют углом между перпендикулярами к их общей прямой $B D$ , проведёнными в каждой плоскости. Значит, искомый угол — $∠ M O C$ .
$O C = \frac{A C}{2} = \frac{4 2}{2} = 22$ , $M C = 2$ , и треугольник $M O C$ прямоугольный с прямым углом $C$ .
$tg ∠ M O C = \frac{M C}{O C} = \frac{2}{2 2} = \frac{2}{2}$ .

Ответ: б) $\frac{2}{2}$

Частые ошибки

В пункте а) доказывают «по рисунку»: угол выглядит прямым — и всё, хотя нужны ссылки на теоремы.
Для признака перпендикулярности прямой и плоскости берут две параллельные прямые плоскости, а признак требует пересекающихся.
Угол между прямой и плоскостью считают с перпендикуляром, а не с проекцией, и получают дополнение до $9 0^{\circ}$ .
Расстояние от точки до плоскости измеряют по наклонной, а не по перпендикуляру.
В координатном методе считают вектор как «начало минус конец» или забывают модуль в формуле косинуса угла между прямыми.

Что нужно знать для задания 15

Оглавление курса «ЕГЭ по математике. Профиль» под это задание. Содержание открывается после оплаты.

С нуля: буквы куба и теорема Пифагора
Словарь: прямые и плоскости в пространстве
Главный инструмент: перпендикулярность прямой и плоскости
Теорема о трёх перпендикулярах
Углы в пространстве
Сечения: как строить и что о них знать
Координатный метод: план Б
Как оформить решение на бланке
Разбор: задача уровня экзамена

Открыть темы в курсе

Ответы на частые вопросы

Как оценивают задание 15?: По критериям демоверсии 2027 года: 3 балла — доказан пункт а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б); 2 балла — обоснованно решён пункт б), или доказан пункт а), а в обоснованном решении пункта б) арифметическая ошибка; 1 балл — доказан только пункт а), или в обоснованном решении пункта б) арифметическая ошибка, или пункт б) решён с опорой на недоказанный пункт а); иначе 0.
Можно ли решить пункт б), не доказав пункт а)?: Можно. Обоснованный верный ответ в пункте б) даёт 2 балла. Если в решении пункта б) использовано утверждение пункта а), а сам пункт а) не доказан, ставят 1 балл.
Нужен ли чертёж?: Эксперты проверяют математическое содержание решения, а не оформление. Но без чертежа или описания построения проследить рассуждение трудно, поэтому рисунок с обозначениями стоит сделать.
Под каким номером это задание было в 2026 году?: Под номером 14.

Пробный вариант — онлайн, с таймером
Перевод баллов — калькулятор тестового балла
Критерии — оценивание развёрнутых ответов
Формулы — справочные материалы