Задание 18 ЕГЭ по профильной математике 2027

Какие бывают подтипы

• Углы в окружности — Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Касательная — Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; отрезки касательных из одной точки равны.
• Хорды и секущие — Если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, произведения их отрезков равны: $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.
• Вписанный четырёхугольник — У четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$.
• Биссектриса и медиана — Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон; точка пересечения медиан делит каждую в отношении $2:1$, считая от вершины.
• Подобие — Главный инструмент доказательств: подобные треугольники дают пропорции сторон, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.
• Решение целиком — Доказательство через подобие или свойства окружности и вычисление по доказанному.

Пример с полным разбором

Условие. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $A{A}_1$ и $B{B}_1$. а) Докажите, что треугольник $A_1{B}_{1}C$ подобен треугольнику $ABC$. б) Найдите $A_1{B}_1$, если $AB=10$ и $\angle C=60^{\circ }$.

1. а) Треугольник $A{A}_{1}C$ прямоугольный (угол $A_1$ прямой), катет $C{A}_1$ прилежит к углу $C$: $C{A}_1=AC\cdot \cos C$.
2. Точно так же в прямоугольном треугольнике $B{B}_{1}C$: $C{B}_1=BC\cdot \cos C$.
3. Значит, $\frac{C{A}_1}{CA}=\frac{C{B}_1}{CB}=\cos C$, а угол $C$ у треугольников $A_1{B}_{1}C$ и $ABC$ общий.
4. По признаку подобия — две стороны пропорциональны, а углы между ними равны — треугольник $A_1{B}_{1}C$ подобен треугольнику $ABC$. Коэффициент подобия — отношение сторон первого треугольника к соответствующим сторонам второго — равен $\cos C$.
5. б) Из подобия $A_1{B}_1=AB\cdot \cos C=10\cdot \frac{1}{2}=5$.

Ответ: б) $5$

Частые ошибки

• Путают половину и удвоение: вписанный угол — половина центрального, а не наоборот.
• Пишут пропорцию из подобия, не доказав, почему треугольники подобны.
• Обосновывают равенство углов «по чертежу», а не ссылкой на теорему или свойство.
• В пропорции подобия ставят в пару стороны, которые друг другу не соответствуют.
• Берут отношение площадей равным коэффициенту подобия, а оно равно его квадрату.

Что нужно знать для задания 18

Оглавление курса «ЕГЭ по математике. Профиль» под это задание. Содержание открывается после оплаты.

1. С нуля: словарь окружности и пары углов
2. Вписанные и центральные углы
3. Касательная
4. Вписанные и описанные четырёхугольники
5. Подобие: мотор доказательств
6. Теоремы синусов, косинусов и площади
7. Биссектриса и медиана: два полезных свойства
8. Как искать доказательство
9. Как оформить решение на бланке
10. Разбор: задача уровня экзамена

Открыть темы в курсе

Ответы на частые вопросы

Как оценивают задание 18?

Так же, как задание 15: 3 балла — доказан пункт а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б); 2 балла — обоснованно решён пункт б), или доказан пункт а), а в обоснованном решении пункта б) арифметическая ошибка; 1 балл — доказан только пункт а), или в обоснованном решении пункта б) арифметическая ошибка, или пункт б) решён с опорой на недоказанный пункт а); иначе 0.

Какие факты можно использовать без доказательства?

Любые математические факты из учебников федерального перечня — например, теоремы синусов и косинусов, свойства вписанных углов и касательной. Ссылаться на них можно без доказательства.

Под каким номером это задание было в 2026 году?

Под номером 17. В 2027 году перед ним добавилось новое задание 17, и планиметрия стала заданием 18.

• ← Задание 17
• Задание 19 →
• Все задания ЕГЭ по профильной математике

• Пробный вариант — онлайн, с таймером
• Перевод баллов — калькулятор тестового балла
• Критерии — оценивание развёрнутых ответов
• Формулы — справочные материалы