Сколько баллов за задание 2?

1 балл за верный ответ. Ответ сверяют с верным автоматически, решение не смотрят.

Векторы всегда заданы координатами?

Нет. Их задают и координатами, и стрелками на клетчатой плоскости. Тогда координаты считают по клеткам: на сколько клеток стрелка сдвигается вправо и на сколько вверх.

Может ли ответ быть отрицательным?

Да. Например, скалярное произведение отрицательно, если угол между векторами тупой. Знак «минус» записывают в отдельной клеточке бланка № 1.

Задание 2 ЕГЭ по профильной математике 2027

Векторы на координатной плоскости или на клетчатом рисунке: координаты, длина, скалярное произведение, угол между векторами. Часть 1, базовый уровень: ответ — число в бланке № 1, 1 балл.

Часть	1
Ответ	целое число или конечная десятичная дробь в бланке № 1
Баллы	1 балл
Проверяет	умение действовать с векторами на плоскости: находить координаты суммы и разности, длину вектора, скалярное произведение и угол между векторами
Сколько времени закладывать	около 3 минут, если математику изучали на профильном уровне, и около 5 — если на базовом (оценка ФИПИ)
Нужные формулы	длина вектора, скалярное произведение в координатах

Какие бывают подтипы

Координаты вектора — Вектор по двум точкам — координаты конца минус координаты начала. Координаты суммы, разности и вектора, умноженного на число.
Длина вектора — Для $a (x; y)$ длина равна $x^{2} + y^{2}$ — это теорема Пифагора для стрелки на клетчатой плоскости.
Скалярное произведение в координатах — Произведение первых координат плюс произведение вторых: $a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ . Результат — число, а не вектор.
Скалярное произведение через угол — Даны длины векторов и угол между ними: $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$ . Из этой же формулы находят косинус угла.
Середина отрезка — Координаты середины — среднее арифметическое координат концов отрезка.
Перпендикулярные векторы — Векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю. Из этого условия находят неизвестную координату.

Пример с полным разбором

Условие. Даны векторы $a (3; 4)$ и $b (4; 3)$ . Найдите косинус угла между ними.

Скалярное произведение в координатах: $a \cdot b = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24$ .
Длины векторов: $∣ a ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$ , $∣ b ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 5$ .
Из формулы $a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos α$ выражаем косинус: $cos α = \frac{24}{5 \cdot 5} = 0, 96$ .

Ответ: $0, 96$

Частые ошибки

Вектор по двум точкам считают как «начало минус конец» и получают координаты с обратными знаками.
Находят сумму квадратов координат и забывают извлечь из неё корень.
Путают скалярное произведение, которое даёт число, со сложением векторов, которое даёт вектор.
Ищут косинус угла и забывают разделить скалярное произведение на произведение длин.

Что нужно знать для задания 2

Оглавление курса «ЕГЭ по математике. Профиль» под это задание. Содержание открывается после оплаты.

Координаты, сумма и разность
Длина вектора
Вектор по двум точкам
Скалярное произведение

Открыть темы в курсе

Ответы на частые вопросы

Сколько баллов за задание 2?: 1 балл за верный ответ. Ответ сверяют с верным автоматически, решение не смотрят.
Векторы всегда заданы координатами?: Нет. Их задают и координатами, и стрелками на клетчатой плоскости. Тогда координаты считают по клеткам: на сколько клеток стрелка сдвигается вправо и на сколько вверх.
Может ли ответ быть отрицательным?: Да. Например, скалярное произведение отрицательно, если угол между векторами тупой. Знак «минус» записывают в отдельной клеточке бланка № 1.

Пробный вариант — онлайн, с таймером
Перевод баллов — калькулятор тестового балла
Критерии — оценивание развёрнутых ответов
Формулы — справочные материалы