Задача на пространственное тело — призму, пирамиду, цилиндр, конус или шар: найти объём, площадь поверхности или отношение величин. Часть 1, базовый уровень: ответ — число в бланке № 1, 1 балл.
Часть
1
Ответ
целое число или конечная десятичная дробь в бланке № 1
Баллы
1 балл
Проверяет
умение находить объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения, в том числе составных, и пользоваться отношениями между их размерами
Сколько времени закладывать
около 3 минут, если математику изучали на профильном уровне, и около 10 — если на базовом (оценка ФИПИ)
Объём многогранника — Параллелепипед, призма, пирамида: объём призмы — площадь основания, умноженная на высоту, у пирамиды — треть этого произведения.
Площадь поверхности — Сумма площадей всех граней; у куба это шесть одинаковых квадратов.
Боковая поверхность призмы — У прямой призмы — периметр основания, умноженный на высоту, в том числе у призмы, отсечённой плоскостью от большой.
Тела вращения — Цилиндр, конус, шар. Ответ часто просят дать делённым на π, чтобы он записывался числом.
Сравнение и изменение размеров — Конус и цилиндр с общим основанием и высотой, тело с увеличенными рёбрами: если все размеры выросли в k раз, объём вырос в k3 раз.
Переливание жидкости — При переливании в другой сосуд объём воды не меняется — меняется высота её уровня.
Тело внутри тела — Пирамида с вершинами в вершинах параллелепипеда, шар внутри цилиндра: объём части через объём целого.
Пример с полным разбором
Условие. Объём конуса равен 40. Через середину его высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, который эта плоскость отсекает у вершины.
Плоскость, параллельная основанию, отсекает у вершины маленький конус той же формы.
Разрежем конус плоскостью через его высоту: в разрезе видны два подобных треугольника. Высота маленького конуса вдвое меньше, значит, и радиус его основания вдвое меньше.
Объём конуса V=31πr2h: радиус входит в квадрате, высота — в первой степени. Если r и h уменьшились вдвое, объём уменьшился в 22⋅2=8 раз.
Объём маленького конуса: 40:8=5.
Ответ:5
Частые ошибки
Забывают множитель 31 в объёме пирамиды или конуса.
Путают боковую поверхность цилиндра с полной: в полной есть ещё два круга-основания.
Рёбра увеличили в 2 раза — пишут, что объём вырос в 2 раза, хотя он вырос в 23=8 раз.
У пирамиды внутри параллелепипеда берут основанием всю грань, а не её половину.
Пропускают в условии слова «делённый на π» и не могут записать ответ числом.
Что нужно знать для задания 3
Оглавление курса «ЕГЭ по математике. Профиль» под это задание. Содержание открывается после оплаты.
1 балл за верный ответ, 0 — за неверный. Частичного балла в части 1 нет.
Выдают ли формулы объёмов на экзамене?
Нет. В справочных материалах профильного варианта только формулы тригонометрии: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. Формулы объёмов и площадей нужно помнить.
Что делать, если в ответе осталось π?
Перечитать условие: в таких задачах просят найти объём или площадь, делённые на π, — тогда ответ получается числом. В бланк № 1 записывают только число.