Задача на вероятность нескольких событий: независимые выстрелы или приборы, «хотя бы один», изделия с двух фабрик. Часть 1, повышенный уровень: ответ — число в бланке № 1, 1 балл.
Часть
1
Ответ
целое число или конечная десятичная дробь в бланке № 1
Баллы
1 балл
Проверяет
умение находить вероятности сложных событий: по правилам сложения и умножения вероятностей, через противоположное событие, по формуле полной вероятности и дереву исходов
Сколько времени закладывать
около 7 минут, если математику изучали на профильном уровне, и около 15 — если на базовом (оценка ФИПИ)
Умножение вероятностей — События независимы, если исход одного не меняет шансов другого. Вероятность того, что произойдут оба, равна произведению их вероятностей.
Противоположное событие — Событие «не A» имеет вероятность 1−P(A): вероятность опоздания автобуса — через вероятность прийти вовремя.
«Хотя бы один» — Считают через противоположное событие «ни одного»: из единицы вычитают вероятность того, что не случилось ни одно.
Ровно один — Два случая, которые не могут произойти одновременно: первое событие произошло, а второе нет, — и наоборот. Их вероятности складывают.
Сложение вероятностей — События не могут произойти одновременно: вероятность «одно или другое» равна сумме их вероятностей.
Полная вероятность и дерево — Изделие приходит с одной из двух фабрик или проходит два этапа: вероятности вдоль ветви дерева перемножают, подходящие ветви складывают.
Пример с полным разбором
Условие. В коридоре горят две лампы. Вероятность того, что лампа перегорит в течение года, равна 0,3, лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года перегорит хотя бы одна лампа.
Противоположное событие к «перегорит хотя бы одна» — «не перегорит ни одна».
Одна лампа не перегорит с вероятностью 1−0,3=0,7.
Лампы независимы, поэтому вероятность того, что уцелеют обе, — произведение: 0,7⋅0,7=0,49.
Искомая вероятность: 1−0,49=0,51.
Ответ:0,51
Частые ошибки
В задаче про «хотя бы один» складывают вероятности — сумма может выйти больше единицы, а такой вероятности не бывает.
Перемножают вероятности событий, которые не могут произойти одновременно, хотя их нужно складывать, — и наоборот.
В задаче про две фабрики забывают умножить долю фабрики на долю брака на ней.
Оставляют проценты процентами: 5 % — это вероятность 0,05, а не 5.
Что нужно знать для задания 5
Оглавление курса «ЕГЭ по математике. Профиль» под это задание. Содержание открывается после оплаты.
1 балл за верный ответ. Это задание повышенного уровня, но частичного балла в части 1 нет.
Что значит «события независимы»?
Исход одного события не меняет шансов другого: попадание в первую мишень не влияет на попадание во вторую. Только для независимых событий вероятность «и то, и другое» равна произведению вероятностей.
Можно ли решать задание 5 деревом?
Да: в части 1 проверяют только число в бланке, способ решения значения не имеет. Дерево исходов помогает не потерять ветви в задачах из двух этапов.