Справочные материалы и формулы для ЕГЭ по базовой математике 2027

Выдают на экзамене

Эти листы напечатаны в начале варианта, перед заданиями, — заучивать их не нужно. Полезно заранее знать, что в них есть и где: тогда на экзамене не придётся искать.

Алгебра

• $\begin{array}{c}\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},a\ge 0,b\ge 0\\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},a\ge 0,b>0\end{array}$

  Свойства арифметического квадратного корня

  Вынести множитель из-под корня, перемножить или разделить корни: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.

  Встречается в: Задание 16.

• $\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=-\frac{b}{2a}\end{array}$

  Корни квадратного уравнения

  Уравнение $a{x}^2+bx+c=0$, $a\ne 0$. Первая строка — при $b^2-4ac>0$, корней два; вторая — при $b^2-4ac=0$, корень один. Если $b^2-4ac<0$, корней нет.

  Встречается в: Задание 17, Задание 20.

• $\begin{array}{c}(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\\ (a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)\end{array}$

  Формулы сокращённого умножения

  Раскрыть скобки или, наоборот, свернуть выражение и сократить дробь.

  Встречается в: Задание 16.

• $\begin{array}{c}{a}^{-n}=\frac{1}{a^n}{a}^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}(a^n{)}^m=a^{nm}\\ (ab{)}^n=a^n\cdot b^n{\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}\end{array}$

  Свойства степени

  При $a>0$, $b>0$. Упростить выражение со степенями; привести обе части показательного уравнения или неравенства к одному основанию.

  Встречается в: Задание 14, Задание 16, Задание 17, Задание 18.

• $\begin{array}{c}{a}^{{\log }_{a}b}=b,{\log }_{a}a=1,{\log }_{a}1=0\\ {\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y\\ {\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y\\ {\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b\end{array}$

  Свойства логарифма

  При $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $x>0$, $y>0$. Сложить или вычесть логарифмы с одним основанием, вынести показатель степени вперёд.

  Встречается в: Задание 16, Задание 17, Задание 18.

Геометрия

• $MN\parallel AC,MN=\frac{AC}{2}$

  Средняя линия треугольника

  $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, $MN$ — средняя линия.

  Встречается в: Задание 9, Задание 12.

• $MN\parallel AD,MN=\frac{BC+AD}{2}$

  Средняя линия трапеции

  $BC\parallel AD$ — основания трапеции $ABCD$, $M$ и $N$ — середины боковых сторон, $MN$ — средняя линия.

  Встречается в: Задание 9, Задание 12.

• $a^2+b^2=c^2$

  Теорема Пифагора

  $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника. Длина лестницы, диагональ участка, отрезок на клетчатой бумаге.

  Встречается в: Задание 9, Задание 10, Задание 12.

• $C=2\pi r,S=\pi r^2$

  Длина окружности и площадь круга

  Окружность и круг радиуса $r$. Путь колеса за один оборот — длина окружности.

  Встречается в: Задание 10, Задание 12.

• $\begin{array}{c}R=\frac{a\sqrt{3}}{3},S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\ r=\frac{a\sqrt{3}}{6},h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{array}$

  Правильный треугольник

  $a$ — сторона, $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей, $S$ — площадь, $h$ — высота.

  Встречается в: Задание 12.

• $S=a{h}_a,S=ab\sin \gamma$

  Площадь параллелограмма

  $h_a$ — высота, проведённая к стороне $a$; $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

  Встречается в: Задание 9, Задание 10, Задание 12.

• $S=\frac{1}{2}a{h}_a,S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$

  Площадь треугольника

  $h_a$ — высота, проведённая к стороне $a$; $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

  Встречается в: Задание 9, Задание 10, Задание 12.

• $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$

  Площадь трапеции

  $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

  Встречается в: Задание 9, Задание 10, Задание 12.

• $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

  Площадь ромба

  $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

  Встречается в: Задание 9, Задание 12.

• $V=abc$

  Объём прямоугольного параллелепипеда

  $a$, $b$, $c$ — длина, ширина и высота: аквариум, коробка, бак.

  Встречается в: Задание 11, Задание 13.

• $V=S_{\text{осн}}h$

  Объём прямой призмы

  $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы.

  Встречается в: Задание 11, Задание 13.

• $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}h$

  Объём пирамиды

  $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.

  Встречается в: Задание 13.

• $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,S_{\text{бок}}=\pi rl$

  Конус

  $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $l$ — образующая: отрезок от вершины до окружности основания.

  Встречается в: Задание 11, Задание 13.

• $V=\pi r^{2}h,S_{\text{бок}}=2\pi rh$

  Цилиндр

  $r$ — радиус основания, $h$ — высота; $S_{\text{бок}}$ — площадь боковой поверхности.

  Встречается в: Задание 11, Задание 13.

• $V=\frac{4}{3}\pi r^3,S_{\text{пов}}=4\pi r^2$

  Шар

  $r$ — радиус шара, $S_{\text{пов}}$ — площадь его поверхности.

  Встречается в: Задание 11, Задание 13.

Тригонометрия

• $\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c},\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$

  Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике

  $c$ — гипотенуза, $a$ — катет против угла $\alpha$, $b$ — катет, прилежащий к нему.

  Встречается в: Задание 12.

• $P_{\alpha }=(\cos \alpha ;\sin \alpha )$

  Тригонометрическая окружность

  Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка $P_{\alpha }$ получается поворотом точки $(1;0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки: её абсцисса — $\cos \alpha$, ордината — $\sin \alpha$.

  Встречается в: Задание 16, Задание 17.

• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

  Основное тригонометрическое тождество

  Найти косинус, когда известен синус, и наоборот.

  Встречается в: Задание 12, Задание 16.

Функции

• $y=kx+b,k=\mathrm{tg}\alpha$

  Линейная функция

  График — прямая; $\alpha$ — угол между ней и положительным направлением оси $Ox$, $b$ — ордината точки, где прямая пересекает ось $Oy$.

  Встречается в: Задание 7.

• $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$

  Геометрический смысл производной

  Производная функции $f$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла $\alpha$ между касательной к графику в этой точке и положительным направлением оси $Ox$.

  Встречается в: Задание 7.

Нужно помнить самому

Этого в справочных материалах нет, а в заданиях нужно: проценты, вероятность, единицы измерения, признаки делимости и несколько фактов алгебры и геометрии.

Проценты и текстовые задачи

• $\frac{p}{100}\cdot a$

  $p$ процентов от числа $a$

  Процент — сотая часть: 15 % — это $0,15$. Скидка, наценка, налог, доля в процентах.

  Встречается в: Задание 1, Задание 6, Задание 15.

• $a\left(1+\frac{p}{100}\right),a\left(1-\frac{p}{100}\right)$

  Число после роста и снижения на $p$ процентов

  Рост на 10 % — умножение на $1,1$, скидка 20 % — умножение на $0,8$.

  Встречается в: Задание 6, Задание 15.

• $\frac{b-a}{a}\cdot 100\%$

  На сколько процентов изменилась величина

  $a$ — старое значение, $b$ — новое. Изменение делят на старое значение, а не на новое.

  Встречается в: Задание 15.

• $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc$

  Основное свойство пропорции

  При $b\ne 0$, $d\ne 0$. Так решают уравнения с дробями и задачи на масштаб и подобие: тень, план местности.

  Встречается в: Задание 10, Задание 17.

• $s=vt$

  Путь, скорость, время

  При движении навстречу скорости складываются, вдогонку — вычитаются. По течению скорость лодки $v+u$, против течения $v-u$, где $u$ — скорость течения.

  Встречается в: Задание 20.

• $A=pt$

  Работа, производительность, время

  Задачи на совместную работу: производительности тех, кто работает вместе, складываются.

  Встречается в: Задание 20.

• $c=\frac{m_1}{m}$

  Концентрация

  $m_1$ — масса вещества, $m$ — масса всего раствора или сплава. При смешивании массы вещества складываются.

  Встречается в: Задание 20.

Вероятность

• $P(A)=\frac{m}{n}$

  Вероятность события

  $n$ — число всех равновозможных исходов, $m$ — число исходов, при которых событие $A$ наступает. Вероятность — число от 0 до 1.

  Встречается в: Задание 5.

• $P(\overline{A})=1-P(A)$

  Противоположное событие

  $\overline{A}$ — событие «$A$ не наступило»: исправна — неисправна, досталась тема — не досталась.

  Встречается в: Задание 5.

Уравнения и выражения

• ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$

  Определение логарифма

  При $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$. Логарифм — показатель степени: ${\log }_{2}8=3$. Уравнение ${\log }_{a}x=c$ решают по определению: $x=a^c$.

  Встречается в: Задание 16, Задание 17, Задание 18.

• $x_1+x_2=-p,x_1{x}_2=q$

  Теорема Виета

  Для уравнения $x^2+px+q=0$, у которого есть корни. Помогает подобрать корни без дискриминанта.

  Встречается в: Задание 17.

• $x^2=a:x=\pm \sqrt{a}$

  Уравнение $x^2=a$

  При $a>0$ корней два — не забудьте отрицательный; при $a=0$ корень один, $0$; при $a<0$ корней нет.

  Встречается в: Задание 17.

• $(\sqrt{a}{)}^2=a,\sqrt{a^2}=|a|,\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

  Корни и степени

  Первое — при $a\ge 0$. Корень из квадрата отрицательного числа — положительное число: $\sqrt{(-3{)}^2}=3$. Корень любой степени можно записать степенью с дробным показателем.

  Встречается в: Задание 16.

• $a^{f(x)}>a^{g(x)}⟺f(x)>g(x),a>1$

  Показательные и логарифмические неравенства

  При основании от 0 до 1 знак неравенства меняется на противоположный. С логарифмом так же, и выражение под логарифмом должно быть положительным: ${\log }_{2}x>0$ при $x>1$.

  Встречается в: Задание 18.

• $\sin (\alpha +360^{\circ })=\sin \alpha ,\cos (\alpha +360^{\circ })=\cos \alpha$

  Полный оборот

  Из большого угла вычитают целые обороты, дальше — таблица значений: $\sin 390^{\circ }=\sin 30^{\circ }=0,5$.

  Встречается в: Задание 16.

• $\begin{array}{c}\sin x=a:x=\arcsin a+2\pi k,x=\pi -\arcsin a+2\pi k\\ \cos x=a:x=\pm \arccos a+2\pi k\end{array}$

  Простейшие тригонометрические уравнения

  $|a|\le 1$, $k$ — любое целое число. $\arcsin a$ — угол от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$ с синусом $a$, $\arccos a$ — угол от $0$ до $\pi$ с косинусом $a$; для табличных значений их находят по таблице справочных материалов.

  Встречается в: Задание 17.

• $f^{\prime }(x)>0,f^{\prime }(x)<0$

  Производная и поведение функции

  Где производная положительна, функция возрастает, где отрицательна — убывает. В точках максимума и минимума производная равна нулю.

  Встречается в: Задание 7.

Геометрия

• $180^{\circ }\cdot (n-2)$

  Сумма углов выпуклого многоугольника

  $n$ — число углов. У треугольника сумма $180^{\circ }$, у четырёхугольника — $360^{\circ }$; острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^{\circ }$.

  Встречается в: Задание 12.

• $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$

  Вписанный угол

  Вписанный угол равен половине центрального, который опирается на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

  Встречается в: Задание 12.

• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha ,\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

  Синус и косинус тупого угла

  Синус тупого угла тот же, что у смежного острого, у косинуса меняется знак: $\cos 120^{\circ }=-0,5$.

  Встречается в: Задание 12, Задание 16.

• $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

  Тангенс через синус и косинус

  Тангенс угла, когда известны его синус и косинус.

  Встречается в: Задание 12, Задание 16.

• $S=2(ab+bc+ac)$

  Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

  $a$, $b$, $c$ — длина, ширина и высота. У куба с ребром $a$ площадь поверхности $6a^2$, объём $a^3$.

  Встречается в: Задание 11, Задание 13.

• $\frac{S_1}{S_2}=k^2,\frac{V_1}{V_2}=k^3$

  Подобные фигуры и тела

  $k$ — во сколько раз увеличили все размеры. Площади растут в $k^2$ раз, объёмы — в $k^3$ раз: ребро вдвое больше — объём в 8 раз больше.

  Встречается в: Задание 10, Задание 12, Задание 13.

Числа

• $\overline{abc}=100a+10b+c$

  Запись числа цифрами

  $a$, $b$, $c$ — цифры сотен, десятков и единиц трёхзначного числа, $a\ne 0$.

  Встречается в: Задание 19.

Ещё по базовой математике

• Задания по номерам — Каждый номер экзамена: тема, баллы, пример с разбором и тренировка.
• Перевод баллов — Калькулятор оценки по первичным баллам и шкала перевода.

Формулы по другим предметам

• Математика (профиль)
• Физика
• Химия