Справочные материалы и формулы для ОГЭ по математике 2027

Выдают на экзамене

Эти листы выдают вместе с вариантом, заучивать их не нужно. Полезно заранее знать, что в них есть и где, — тогда на экзамене не придётся искать.

Алгебра

• $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},D=b^2-4ac$

  Корни квадратного уравнения

  Любое уравнение $a{x}^2+bx+c=0$. Если $D<0$, корней нет.

  Встречается в: Задание 9, Задание 13, Задание 20, Задание 21.

• $\begin{array}{c}a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\ a{x}^2+bx+c=a(x-x_0{)}^2\end{array}$

  Разложение квадратного трёхчлена на множители

  Первая строка — когда у трёхчлена два корня $x_1$ и $x_2$, вторая — когда корень один, $x_0$. Нужно, чтобы сократить дробь или решить неравенство методом интервалов.

  Встречается в: Задание 13, Задание 20, Задание 22.

• $x_0=-\frac{b}{2a}$

  Вершина параболы

  Абсцисса вершины параболы $y=a{x}^2+bx+c$: с неё начинают строить график.

  Встречается в: Задание 11, Задание 22.

• $a_n=a_1+d(n-1)$

  Член арифметической прогрессии

  $a_1$ — первый член, $d$ — разность: число, которое прибавляется на каждом шаге.

  Встречается в: Задание 14.

• $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$

  Сумма арифметической прогрессии

  Сумма первых $n$ членов: сколько всего за $n$ дней, рядов, недель.

  Встречается в: Задание 14.

• $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

  Член геометрической прогрессии

  $q$ — знаменатель: во сколько раз каждый следующий член больше предыдущего.

  Встречается в: Задание 14.

• $S_n=\frac{(q^n-1)b_1}{q-1}$

  Сумма геометрической прогрессии

  Сумма первых $n$ членов при $q\ne 1$.

  Встречается в: Задание 14.

• $\begin{array}{c}(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\\ (a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\end{array}$

  Формулы сокращённого умножения

  Раскрыть скобки, свернуть выражение в квадрат, разложить на множители.

  Встречается в: Задание 8, Задание 12, Задание 20.

• $\begin{array}{c}\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},a\ge 0,b\ge 0\\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},a\ge 0,b>0\end{array}$

  Свойства арифметического квадратного корня

  Вынести множитель из-под корня, упростить выражение с корнями.

  Встречается в: Задание 8.

• $\begin{array}{c}{a}^{-n}=\frac{1}{a^n}{a}^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}(a^n{)}^m=a^{nm}\\ (ab{)}^n=a^n{b}^n{\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}\end{array}$

  Свойства степени

  При $a>0$, $b>0$. Сначала упростить дробь со степенями, потом считать.

  Встречается в: Задание 8, Задание 12.

Геометрия

• $180^{\circ }\cdot (n-2)$

  Сумма углов выпуклого многоугольника

  $n$ — число углов. У треугольника сумма $180^{\circ }$, у четырёхугольника — $360^{\circ }$.

  Встречается в: Задание 15, Задание 17.

• $MN\parallel AC,MN=\frac{AC}{2}$

  Средняя линия треугольника

  $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$.

  Встречается в: Задание 15, Задание 17, Задание 18.

• $MN\parallel AD,MN=\frac{BC+AD}{2}$

  Средняя линия трапеции

  $BC$ и $AD$ — основания трапеции, $M$ и $N$ — середины боковых сторон.

  Встречается в: Задание 17, Задание 18.

• $\begin{array}{c}R=\frac{a\sqrt{3}}{3},r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\ h=\frac{a\sqrt{3}}{2},S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\end{array}$

  Правильный треугольник

  $a$ — сторона, $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей, $h$ — высота, $S$ — площадь.

  Встречается в: Задание 15, Задание 16.

• $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

  Теорема синусов

  Сторона и противолежащий ей угол дают радиус $R$ описанной окружности.

  Встречается в: Задание 16, Задание 25.

• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

  Теорема косинусов

  Третья сторона треугольника по двум сторонам и углу между ними.

  Встречается в: Задание 23, Задание 25.

• $C=2\pi r,S=\pi r^2$

  Длина окружности и площадь круга

  Окружность и круг радиуса $r$.

  Встречается в: Задания 1–5, Задание 16.

• $S=a{h}_a,S=ab\sin \gamma$

  Площадь параллелограмма

  $h_a$ — высота, проведённая к стороне $a$; $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

  Встречается в: Задание 17, Задание 18.

• $S=\frac{1}{2}a{h}_a,S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$

  Площадь треугольника

  Через сторону и высоту к ней или через две стороны и угол между ними.

  Встречается в: Задание 15, Задание 18.

• $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$

  Площадь трапеции

  $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

  Встречается в: Задание 17, Задание 18, Задание 25.

• $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

  Площадь ромба

  $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

  Встречается в: Задание 17, Задание 18.

• $\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c},\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$

  Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике

  $c$ — гипотенуза, $a$ — катет против угла $\alpha$, $b$ — катет, прилежащий к нему.

  Встречается в: Задание 15, Задание 18.

• $a^2+b^2=c^2$

  Теорема Пифагора

  Сторона прямоугольного треугольника по двум другим; длина отрезка на клетчатой бумаге.

  Встречается в: Задания 1–5, Задание 15, Задание 17, Задание 18, Задание 23.

• ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

  Основное тригонометрическое тождество

  Найти косинус угла, когда известен синус, и наоборот.

  Встречается в: Задание 15.

Нужно помнить самому

Этого в справочных материалах нет, а в заданиях нужно. Факты из школьных учебников можно использовать без доказательства — достаточно знать формулу и понимать, когда она работает.

Алгебра

• $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

  Теорема Виета

  Проверить найденные корни квадратного уравнения или подобрать их без дискриминанта.

  Встречается в: Задание 9, Задание 20.

• $\sqrt{a^2}=|a|$

  Корень из квадрата

  Корень из квадрата отрицательного числа — положительное число: $\sqrt{(-3{)}^2}=3$.

  Встречается в: Задание 8.

• $y=kx+b$

  Линейная функция

  График — прямая. При $k>0$ она идёт вверх слева направо, при $k<0$ — вниз. Ось $Oy$ прямая пересекает в точке $(0;b)$.

  Встречается в: Задание 11, Задание 22.

• $y=\frac{k}{x}$

  Обратная пропорциональность

  График — гипербола: при $k>0$ ветви в первой и третьей четвертях, при $k<0$ — во второй и четвёртой.

  Встречается в: Задание 11, Задание 22.

Проценты, вероятность, текстовые задачи

• $\frac{p}{100}\cdot a$

  $p$ процентов от числа $a$

  Скидка, наценка, доля в процентах.

  Встречается в: Задания 1–5, Задание 21.

• $a\left(1+\frac{p}{100}\right),a\left(1-\frac{p}{100}\right)$

  Число после роста и снижения на $p$ процентов

  Несколько повышений подряд — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=1+\frac{p}{100}$: рост на 10 % в год — это $q=1,1$.

  Встречается в: Задания 1–5, Задание 14.

• $P(A)=\frac{m}{n}$

  Вероятность события

  $n$ — число всех равновозможных исходов, $m$ — число исходов, при которых событие $A$ наступает.

  Встречается в: Задание 10.

• $P(\overline{A})=1-P(A)$

  Противоположное событие

  Вероятность того, что событие $A$ не наступит.

  Встречается в: Задание 10.

• $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$

  Независимые события

  Вероятность того, что наступят оба события, если одно не влияет на другое: монету бросают дважды, стрелок стреляет два раза.

  Встречается в: Задание 10.

• $P(A+B)=P(A)+P(B)$

  Несовместные события

  События несовместные, если они не могут наступить одновременно: при одном броске кости не выпадут сразу 1 и 6. $A+B$ — событие «наступит $A$ или $B$»: вероятность того, что выпадет 1 или 6, равна $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$.

  Встречается в: Задание 10.

• $s=vt$

  Путь, скорость, время

  Задачи на движение. По течению скорость лодки $v+u$, против течения $v-u$, где $u$ — скорость течения.

  Встречается в: Задание 21.

• $A=pt$

  Работа, производительность, время

  Задачи на совместную работу: производительности тех, кто работает вместе, складываются.

  Встречается в: Задание 21.

Геометрия

• $S=ab$

  Площадь прямоугольника

  $a$ и $b$ — длина и ширина: площадь участка, комнаты, листа бумаги.

  Встречается в: Задания 1–5, Задание 18.

• $V=abc$

  Объём прямоугольного параллелепипеда

  $a$, $b$ и $c$ — длина, ширина и высота: объём комнаты или парилки.

  Встречается в: Задания 1–5.

• $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$

  Вписанный угол

  Вписанный угол равен половине центрального, который опирается на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

  Встречается в: Задание 16, Задание 24, Задание 25.

• $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$

  Вписанный четырёхугольник

  Около четырёхугольника можно описать окружность только тогда, когда суммы противоположных углов равны $180^{\circ }$.

  Встречается в: Задание 16, Задание 24.

• $AB+CD=BC+AD$

  Описанный четырёхугольник

  В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

  Встречается в: Задание 16, Задание 25.

• $OA\perp MA,MA=MB$

  Касательная к окружности

  $O$ — центр, $A$ и $B$ — точки касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной точки $M$ равны.

  Встречается в: Задание 16, Задание 23, Задание 25.

• $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

  Пересекающиеся хорды

  Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

  Встречается в: Задание 16, Задание 25.

• $M{A}^2=MB\cdot MC$

  Касательная и секущая

  Из точки $M$ проведены касательная $MA$ и секущая, которая пересекает окружность в точках $B$ и $C$.

  Встречается в: Задание 23, Задание 25.

• $R=\frac{c}{2}$

  Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  Центр окружности — середина гипотенузы $c$. Поэтому медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

  Встречается в: Задание 15, Задание 16, Задание 24.

• $h=\frac{ab}{c}$

  Высота, проведённая к гипотенузе

  $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Следует из двух формул площади прямоугольного треугольника.

  Встречается в: Задание 23.

• $S=pr$

  Площадь через радиус вписанной окружности

  $p$ — полупериметр, то есть половина периметра многоугольника, $r$ — радиус вписанной в него окружности.

  Встречается в: Задание 16, Задание 25.

• $r=\frac{a}{2},R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

  Квадрат и окружность

  $a$ — сторона квадрата, $r$ — радиус вписанной окружности, $R$ — описанной.

  Встречается в: Задание 16.

• $d=a\sqrt{2}$

  Диагональ квадрата

  $a$ — сторона квадрата.

  Встречается в: Задание 17, Задание 18.

• $\frac{AL}{LC}=\frac{AB}{BC}$

  Свойство биссектрисы треугольника

  Биссектриса $BL$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

  Встречается в: Задание 23, Задание 25.

• $\frac{S_1}{S_2}=k^2$

  Площади подобных фигур

  $k$ — коэффициент подобия, то есть отношение соответствующих сторон.

  Встречается в: Задание 19, Задание 23, Задание 25.

• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha ,\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

  Синус и косинус тупого угла

  Тупой угол треугольника или параллелограмма: синус тот же, что у смежного острого угла, у косинуса меняется знак.

  Встречается в: Задание 15, Задание 17.

• $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

  Тангенс через синус и косинус

  Тангенс угла, когда известны его синус и косинус.

  Встречается в: Задание 15.

Ещё по математике

• Критерии оценивания — За что дают полный балл в заданиях с развёрнутым ответом, за что — частичный.
• Задания по номерам — Каждый номер экзамена: тема, баллы, пример с разбором и тренировка.
• Перевод баллов — Калькулятор оценки по первичным баллам и шкала перевода.

Формулы по другим предметам

• Физика
• Химия